三角形三條內角平分線的交點叫三角形的內心。即內切圓的圓心。內心是三角形角平分線交點的原理：經圓外一點作圓的兩條切線，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角（通過全等易證明）。內心原理：經圓外一點作圓的兩條切線，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點到角兩邊距離相等）。直角三角形的角平分線到角兩邊的距離相等。直角三角形三條角平分線的交點叫內心，即內切圓的圓心。直角三角形的內心到三邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。

詳細釋義

內心定理：三角形的三個內角的角平分線交于一點。該點叫做三角形的內心。

注意到內心到三邊距離相等（為內切圓半徑），內心定理其實極易證。

若三邊分別為l1，l2，l3，周長為p，則內心的重心坐標為 - l1/p,l2/p,l3/p。

直角三角形的內心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。

雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。

性質

設△ABC的內切圓為☉O - 半徑r，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p= - a+b+c/2。

1、三角形的三個角平分線交于一點，該點即為三角形的內心 。

2、三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r。

3、r=S/p。

證明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC= - cr+br+ar/2=rp, 即得結論。

4、△ABC中，∠C=90°，r= - a+b-c/2。

5、∠BOC=90°+∠A/2。

6、點O是平面ABC上任意一點，點O是△ABC內心的充要條件是：a - 向量OA+b - 向量OB+c - 向量OC=向量0。

7、點O是平面ABC上任意一點，點I是△ABC內心的充要條件是：向量OI=[a - 向量OA+b - 向量OB+c - 向量OC]/ - a+b+c。

8、△ABC中，A - x1，y1，B - x2，y2，C - x3，y3，那么△ABC內心I的坐標是： - ax1/ - a+b+c+bx2/ - a+b+c+cx3/ - a+b+c，ay1/ - a+b+c+by2/ - a+b+c+cy3/ - a+b+c。

9、 - 歐拉定理△ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則OI2=R2-2Rr。

10、內角平分線分三邊長度關系：如圖1：△ABC中，AD是∠A的角平分線，D在BC上，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，d=AD。設R1是△ABD的外接圓半徑，R2是△ACD的外接圓半徑，則有：BD/CD=AB/AC

證明：由正弦定理得

b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，

∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.

又BD=2R1sinBAD， CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，

∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC

11、內切圓半徑

證明

在△ABC中

∵?角平分線上的點到角的兩邊距離相等

∴?內心距三邊距離都相等

即在三條角平分線的交點處。