二重積分是二元函數(shù)在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質(zhì)是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區(qū)域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進(jìn)行積分，稱為曲面積分。

概述

設(shè)二元函數(shù)z=f - x,y定義在有界閉區(qū)域D上,將區(qū)域D任意分成n個(gè)子域Δδi - i=1,2,3,…，n），并以Δδi表示第i個(gè)子域的面積.在Δδi上任取一點(diǎn) - ξi,ηi,作和n/i=1Σ - ξi,ηiΔδi.如果當(dāng)各個(gè)子域的直徑中的最大值λ趨于零時(shí),此和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)f - x,y在區(qū)域D上的二重積分,記為∫∫f - x,ydδ,即∫∫f - x,ydδ=lim Σf - ξi,ηiΔδi

這時(shí),稱f - x,y在D上可積,其中f - x,y稱被積函數(shù),f - x,ydδ稱為被積表達(dá)式,dδ稱為面積元素,D稱為積分域,∫∫稱為二重積分號(hào).

性質(zhì)

性質(zhì)1（積分可加性）函數(shù)和（差）的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和（差），即

∫∫[f - x,y±g - x,y]dσ=∫∫f - x,ydσ±∫∫g - x,ydσ

性質(zhì)2（積分滿足數(shù)乘）被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即

∫∫kf - x,ydσ=k∫∫f - x,ydσ - k為常數(shù)）

性質(zhì)1與性質(zhì)2合稱為積分的線性性質(zhì)。

性質(zhì)3如果在區(qū)域D上有f - x,y≦g - x,y,則∫∫f - x,ydσ≦∫∫g - x,ydσ

推論∣∫∫f - x,ydσ∣≦∫∫∣g - x,y）∣dσ

性質(zhì)4設(shè)M和m分別是函數(shù)f - x,y在有界閉區(qū)間D上的最大值和最小值，σ為區(qū)域D的面積，

則mσ≦∫∫f - x,ydσ≦Mσ

性質(zhì)5如果在有界閉區(qū)域D上f - x,y=1,σ為D的面積，則Sσ=∫∫dσ

性質(zhì)6二重積分中值定理

設(shè)函數(shù)f - x,y在有界閉區(qū)間D上連續(xù)，σ為區(qū)域的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)（ξ，η），使得

∫∫f - x,ydσ=f - ξ，η）●σ

意義

當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積。

當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體體積負(fù)值。

幾何意義

在空間直角坐標(biāo)系中，二重積分是各部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負(fù)。